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Programmes des UE de troisième année

Semestre d'automne (S5)

  • Topologie et théorie de la mesure (page du cours : automne 2016)
  • Probabilités et statistique 4 (page du cours : automne 2016)
  • Économétrie 1
  • Économie appliquée 1
  • UE transversale 5

Semestre de printemps (S6)

  • Probabilités et statistique 5 (page du cours : printemps 2017)
  • Théorie de l'ordre (page du cours : printemps 2017)
  • Économie appliquée 2
  • Économétrie 2 (page du cours : printemps 2017)
  • Informatique 2 (page du cours :printemps 2017)
  • Recherche opérationnelle ou Stage L3 de mathématiques

Semestre d'automne (S5)

Topologie et théorie de la mesure

I. Topologie et convexité 1.- Espaces métriques. Ensembles ouverts, fermés, voisinages, fonctions continues. 2.- Ensembles compacts dans un espace métrique. Compacts de R^n. 3.- Convexité dans un espace vectoriel. Le cas de l'espace euclidien R^n. Optimisation. 4. Propriétés des fonctions numériques convexes définies sur un intervalle de R. 5.- Les inégalités de convexité: Jensen, Hölder, Cauchy-Schwartz et Minkowski. 6. Espaces de Hilbert. Le théorème du parallélogramme, le théorème de la projection sur un ensemble convexe fermé. 7. Bases hilbertiennes.

II. Théorie de la mesure 1. Rappels sur l'intégrale de Riemann. 2. Tribus, la tribu de Borel. 3. La mesure de Lebesgue (construction admise). 4. Théorème de convergence monotone, théorème de convergence dominée. 5. Comparaison de l'intégrale de Lebesgue avec l'intégrale de Riemann. 6. Mesures produits : théorème de Fubini (admis). 7. Théorème du changement de variables dans Rn. 8. Introduction aux espaces Lp.

Probabilités et statistiques 4

1. Variables aléatoires discrètes et absolument continues. Indépendance. La loi forte des grands nombres, lemme de Borel-Cantelli. 2. Convergence en loi, théorème de P. Lévy, théorème central limite. 3. Les tests de Student. Le test du khi2 (ajustement et indépendance). Le test de Kolmogorov-Smirnov. 4. Techniques de simulation aléatoire.

Économétrie 1

Ce cours est une introduction à l’économétrie. Il s’intéresse à la définition de l’économétrie, à sa méthodologie et il illustre l’approche économétrique par des exemples économiques simples. Le but de ce cours est de fournir les instruments à ce type d’approche en donnant des détails nécessaires pour comprendre pourquoi et quand tel ou tel instrument est nécessaire. La mise en œuvre des techniques d’estimation via le logiciel STATA sera présentée. L’idée est de permettre aux étudiants l’acquisition d’outils qu’ils pourront ensuite appliquer aux différents domaines de l’économie.

Économie appliquée 1

La modélisation économétrique constitue pour les économistes, depuis les travaux précurseurs de R. Frisch, une des méthodes la plus adaptée à la confrontation de la réalité économique à la théorie économique. En permettant une représentation simplifiée des mécanismes économiques (au niveau macroéconomique) comme des comportements individuels (microéconomie), l’économétrie appliquée constitue l’un des outils d’aide à la décision les plus mobilisés par les économistes professionnels dans les services de prévision privé, public comme dans les grades organisations internationales. Outil d’action sur le réel, la modélisation économétrique permet de guider la politique économique en simulant des scénarios sur la base de données d'enquêtes ou produites à partir d’expériences en laboratoire, Dans cette optique, le cours d’économétrie appliquée a pour objectif principal d’établir un trait d’union entre les enseignements de l’analyse économique (microéconomie, macroéconomie), les méthodes de l’inférence statistique étudiées en économétrie et le traitement des données d’enquête. Il s’agit d’initier les étudiants à toutes les étapes de la construction d’un modèle économétrique visant à représenter certains faits stylisés, puis en soumettre les propriétés d’équilibre à réfutation. Le cours permet aux étudiants d’atteindre plusieurs objectifs : - Approfondir leur connaissance des outils de l’économétrie des données individuelles et des principaux tests de violation d’hypothèse des MCO; - Se familiariser à la résolution des problèmes rencontrées (contrôle des sources de biais, passage de la forme structurelle à la forme réduite, identification,…), lors de la construction de modèles économétriques simples inspirés de leur connaissance en microéconomie ou en macroéconomie ; - Illustrer le cours à partir de plusieurs estimations économétriques mobilisant le logiciel STATA sur une base de données unique, laissant aux étudiants la possibilité de reproduire les résultats présentés en cours.

UE transversale 5

Anglais, Sport, Enseignements d'ouverture.


Semestre de printemps (S6)

Probabilités et statistique 5

1. Chaînes de Markov (dont simulation). 2. Espérance conditionnelle. 3. Vecteurs gaussiens. Mesure de Gauss. Espérance conditionnelle dans le cas gaussien. Processus gaussiens. 4. Introduction au mouvement brownien, simulation. 5. Processus de Poisson, simulation.

Théorie de l'ordre

Le cours présente des concepts fondamentaux de la théorie de l’ordre à la base de méthodes d’organisation, de reconstruction, d’extraction et traitement de données utilisées en Sciences Sociales (modélisation, analyse et agrégation des préférences), en Economie, en Informatique et en Biologie. 1. Une introduction (les théorèmes de Erdös-Szekeres, de Dilworth, Sperner, Szpilrajn, Tarski). 2. Les objets de base. Pré-ordres, ordres, partitions, arbres; relations d'incidence. Comparaison et proximité (métrique, métrique sur les arbres, arbres phylogéniques). Treillis complets; fermeture, pré-fermeture, engendrement, partie libre, famille de Moore, fermeture algébrique, matroïdes, antimatroïdes. Treillis et graphe permutoedre. Modélisation de préférences: le théorème de Arrow. 3. Correspondance de Galois et treillis de Galois; exemples : complété de MacNeille et treillis des sections initiales. Relations Ferrers. Ordres et graphes d'intervalles. Fonctions booléennes (le ou , le et, le non, le implique, par les tableaux; le treillis des propositions, complétude). Dépendances, implications, échelle de Guttman, base canonique d'un treillis de Galois (Guigues - Duquenne). 4. Représentation d'un ensemble ordonné dans un produit de chaînes, dimension au sens de Dushnik-Miller. Extensions linéaires et sections initiales. Dualité entre ensembles ordonnés et treillis des sections initiales. 5. Dénombrement et nombres de Whitney d'un ensemble ordonné. Les ensembles de base (treillis des parties, des équivalences, des partitions, des sous espaces d'un espace vectoriel, treillis de Young). Nombres de Stirling de 2ème espèce et de Bell. Polynômes factoriels, nombres de Stirling de 1ère espèce. Polynômes gaussiens. Nombres de Catalan et extensions lineaires. 6. Eléments de géométrie combinatoire. Equivalences et carrés latins. Plans d'expériences. Inclusion-exclusion. 7. Mots sur un alphabet fini; mots bien parenthésés, énumération de motifs, codes, comparaison de séquences.

Économie appliquée 2

Économie publique : Le premier théorème fondamental du bien-être établit que l'équilibre de marché conduit à un optimum économique sous certaines hypothèses. Ce cours s’attache précisément à étudier les conséquences d'une remise en cause de ces hypothèses. On parle alors de défaillance du marché, et l'équilibre n'est plus optimal. Après une révision et discussion des théorèmes du bien-être, le cours aborde spécifiquement deux sources de défaillances de marché : les externalités (théorème de Coase, taxe pigouviennes, tragédie des communs, externalités de position) et les biens publics (mécanisme de Lindhal, bien public dichotomique, mécanisme de Clarke-Groves). La question de la taxation est également étudiée, notamment les effets économiques de la fiscalité et la théorie de l’impôt optimal. Une dernière section traite spécifiquement de la question de l’agrégation des préférences.

Économétrie 2

Ce cours propose des compléments sur le modèle linéaire général et présente les tests et solutions en cas de violation des hypothèses du théorème de Gauss-Markov. Après une brève introduction à l’économétrie des séries temporelles, le cours aborde la question de l’autocorrélation des erreurs, puis celle de la présence d’hétéroscédasticité, introduisant les estimateurs des Moindres Carrés Généralisés et Quasi-Généralisés. Le cours aborde ensuite les tests de spécification et les techniques d’instrumentation. Les travaux dirigés associés à ce cours portent de manière importante sur l’utilisation pratique de l’outil économétrique pour répondre à des questions économiques. L’évaluation porte sur la rédaction d’un court mémoire appliquant les outils enseignés sur données réelles. Introduction aux séries temporelles. Détection et prise en compte de l’auto-corrélation des résidus. Détection et prise en compte de l’hétéroscédasticité. Problèmes de spécification et problèmes de données. Exploitation économétrique de variables qualitatives. Erreurs de mesure et problèmes d’endogénéité : la méthode des variables instrumentales. Les problèmes de multicolinéarité.

Informatique 2

Ce cours permet d'aborder la notion de complexité en étudiant différentes méthodes de tri, de résoudre des équations à l'aide en diagonalisant des matrices, de connaître les problèmes élémentaires sur les graphes (fermeture transitive, plus court chemin, arbre de poids minimal), parcours des graphes en largeur et profondeur (utilisation des files et piles et de la récursivité).

- Algorithmes numériques classiques : diagonalisation des matrices, résolution d’équations, optimisation dans R. - Algorithmes non numériques : représentation des graphes, problèmes élémentaires sur les graphes (fermeture transitive, plus court chemin, arbre de poids minimal). Parcours des graphes en largeur et profondeur (utilisation des files et piles et de la récursivité). - Modélisation et résolution de quelques problèmes simples de recherche opérationnelle. - Utilisation d’un SGBD.

Recherche opérationnelle (optionnelle)

Cette UE a pour but d’introduire les méthodes de la programmation mathématique classiquement utilisées en recherche opérationnelle.

Programmation mathématique, optimisation, combinatoire : Typologie des problèmes d’optimisation Formulation d’un programme linéaire Algorithme du simplexe et méthode du simplexe Théorème de dualité L’algorithme du simplexe sous forme matricielle Méthode du simplexe en utilisant des multiplicateurs

Ordonnancement : méthodes MPM et PERT.

Eléments de programmation convexe : Méthode de Franck et Wolfe Méthode des plans sécants de Kelley

Eléments de programmation sans contraintes : Méthodes de gradient Méthodes directes Méthodes par essaims particulaires et autres méthodes modernes…

Stage en L3 mathématiques (optionnelle)

Ce stage est destiné à faciliter ultérieurement une première embauche et constitue une première prise de conscience des conditions réelles d'exercice de la profession envisagée. Le stage peut être effectué en établissement scolaire ou en entreprise, en liaison avec le projet professionnel de l'étudiant. En entreprise ou dans une administration : connaissance de l'entreprise ou de l'administration et de son fonctionnement spécifique, rôle d'une formation en mathématiques et plus généralement scientifique dans l'entreprise ou l'administration, développement d'applications simples. En établissement scolaire : connaissance de l'école, du collège ou du lycée et de son fonctionnement, observation du travail d'une ou plusieurs classes, participation active à l'encadrement d'élèves dans certains travaux pratiques ou d'applications sur le cours, éventuellement soutien à des élèves en difficulté dans le domaine des mathématiques.

L'étudiant recherche lui-même son établissement d'accueil, son choix devant être validé par le responsable de l'UE. Le stage comporte au minimum une soixantaine d'heures de présence dans l'établissement. Hormis une phase préalable d'observation, le stagiaire doit, en accord avec son maitre de stage, effectuer des tâches en participation accompagnée, et dans la mesure du possible, des tâches en pleine responsabilité. À l'issue du stage, l'étudiant rédige un rapport qu'il remet à son tuteur pédagogique (un des membres du jury de l'UE). Ce rapport fait l'objet d'une soutenance devant un jury. L'évaluation de l'étudiant est alors faite par l'ensemble du jury en fonction du contenu du stage, de la qualité du rapport et de la soutenance.

programmes_ue_l3.txt · Dernière modification: 2017/07/19 14:07 par brandolese